QYBE solutions for constant R-Matrices over Grassmann Algebra, 4-generators



Based upon the work of Steven Duplij, Olga Kotulska and Alexander Sadovnikov [1]

Mathematica 9.0 code by Dara O Shayda 
dara@lossofgenerality.com 

Grassmann Algebra Package by John Browne [2] 
grassmannalgebra@gmail.com


June 30, 2013

Clear[a,b,c,d,p,q];

Assume a, b, c, d, p and q belong to a multiplicative commutative distributive algebra, with both additive and multiplicative inverses.

Based upon the 6-vertex YBE solutions [3], the following matrix forms are created:

R=.;
R= ConstantArray[0,{4,4}];
R[[1]][[1]] = p;
R[[2]][[2]] = c;
R[[3]][[3]] = b;
R[[4]][[4]] = q;
R[[2]][[3]] = d;
R[[3]][[2]] = a;
R//MatrixForm

R12=.;
R12 = ConstantArray[0,{8,8}];
R12[[1]][[1]] = p;
R12[[2]][[2]] = p;
R12[[3]][[3]] = c;
R12[[4]][[4]] =c;
R12[[5]][[5]] =b;
R12[[6]][[6]] = b;
R12[[7]][[7]] = q;
R12[[8]][[8]] = q;
R12[[3]][[5]] = d;
R12[[4]][[6]] = d;
R12[[5]][[3]] = a;
R12[[6]][[4]] = a;
R12//MatrixForm

R13=.;
R13 = ConstantArray[0,{8,8}];
R13[[1]][[1]] = p;
R13[[2]][[2]] = c;
R13[[3]][[3]] = p;
R13[[4]][[4]] =c;
R13[[5]][[5]] =b;
R13[[6]][[6]] = q;
R13[[7]][[7]] = b;
R13[[8]][[8]] = q;
R13[[2]][[5]] = d;
R13[[4]][[7]] = d;
R13[[5]][[2]] = a;
R13[[7]][[4]] = a;
R13//MatrixForm

R23=.;
R23 = ConstantArray[0,{8,8}];
R23[[1]][[1]] = p;
R23[[2]][[2]] = c;
R23[[3]][[3]] = b;
R23[[4]][[4]] =q;
R23[[5]][[5]] =p;
R23[[6]][[6]] = c;
R23[[7]][[7]] = b;
R23[[8]][[8]] = q;
R23[[2]][[3]] = d;
R23[[6]][[7]] = d;
R23[[3]][[2]] = a;
R23[[7]][[6]] = a;
R23//MatrixForm

From the braid equation get the algebraic equations that must satisfy 0:

equations = Simplify[R12.R13.R23 - R23.R13.R12];
Style[equations//MatrixForm,FontSize->9]

From [1] check the computations:

<<"GrassmannAlgebra`"
★A;DeclareVectorSymbols[(Subscript[ζ, 1]),(Subscript[ζ, 2]),(Subscript[ζ, 3]),(Subscript[ζ, 4])]
(* Dimension has to be set or the default is 3 *)
DeclareBasis[4];
scalars=DeclareScalarSymbols[(Subscript[a, 0]),(Subscript[b, 0]),(Subscript[c, 0]),(Subscript[d, 0]),(Subscript[p, 0]),(Subscript[q, 0]),(Subscript[a, 12]),(Subscript[b, 12]),(Subscript[c, 12]),(Subscript[d, 12]),(Subscript[p, 12]),(Subscript[q, 12]),(Subscript[a, 13]),(Subscript[a, 14]),(Subscript[b, 13]),(Subscript[b, 14]),(Subscript[c, 13]),(Subscript[c, 14]),(Subscript[d, 13]),(Subscript[d, 14]),(Subscript[p, 13]),(Subscript[p, 14]),(Subscript[q, 13]),(Subscript[q, 14]),(Subscript[a, 23]),(Subscript[b, 23]),(Subscript[c, 23]),(Subscript[d, 23]),(Subscript[p, 23]),(Subscript[q, 23]),(Subscript[a, 24]),(Subscript[a, 34]),(Subscript[a, 1234]),(Subscript[b, 24]),(Subscript[b, 34]),(Subscript[b, 1234]),(Subscript[c, 24]),(Subscript[c, 34]),(Subscript[c, 1234]),(Subscript[d, 24]),(Subscript[d, 34]),(Subscript[d, 1234]),(Subscript[p, 24]),(Subscript[p, 34]),(Subscript[p, 1234]),(Subscript[q, 24]),(Subscript[q, 34]),(Subscript[q, 1234])]
X=★𝒢[(1+(Subscript[ζ, 1]))⋀(1+(Subscript[ζ, 2]))⋀(1+(Subscript[ζ, 3]))⋀(1+(Subscript[ζ, 4]))]

(* assign the 0s to only get the even terms *)
aa=.;
aa={(Subscript[a, 0]),0,0,0,0,(Subscript[a, 12]),(Subscript[a, 13]),(Subscript[a, 14]),(Subscript[a, 23]) ,(Subscript[a, 24]),(Subscript[a, 34]),0,0,0,0,(Subscript[a, 1234])}.List@@X

bb=.;
bb={(Subscript[b, 0]),0,0,0,0,(Subscript[b, 12]),(Subscript[b, 13]),(Subscript[b, 14]),(Subscript[b, 23]) ,(Subscript[b, 24]),(Subscript[b, 34]),0,0,0,0,(Subscript[b, 1234])}.List@@X

cc=.;
cc={(Subscript[c, 0]),0,0,0,0,(Subscript[c, 12]),(Subscript[c, 13]),(Subscript[c, 14]),(Subscript[c, 23]) ,(Subscript[c, 24]),(Subscript[c, 34]),0,0,0,0,(Subscript[c, 1234])}.List@@X

dd=.;
dd={(Subscript[d, 0]),0,0,0,0,(Subscript[d, 12]),(Subscript[d, 13]),(Subscript[d, 14]),(Subscript[d, 23]) ,(Subscript[d, 24]),(Subscript[d, 34]),0,0,0,0,(Subscript[d, 1234])}.List@@X

pp=.;
pp={(Subscript[p, 0]),0,0,0,0,(Subscript[p, 12]),(Subscript[p, 13]),(Subscript[p, 14]),(Subscript[p, 23]) ,(Subscript[p, 24]),(Subscript[p, 34]),0,0,0,0,(Subscript[p, 1234])}.List@@X

qq=.;
qq={(Subscript[q, 0]),0,0,0,0,(Subscript[q, 12]),(Subscript[q, 13]),(Subscript[q, 14]),(Subscript[q, 23]) ,(Subscript[q, 24]),(Subscript[q, 34]),0,0,0,0,(Subscript[q, 1234])}.List@@X

expr1=GrassmannExpandAndSimplify[cc⋀dd⋀aa]

Collect the coefficients:

coeff1=Flatten[{(Subscript[a, 0]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 0]),Coefficient[expr1, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])}], Coefficient[expr1, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr1, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 4])}], Coefficient[expr1, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr1, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr1, {(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr1, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}]}]

expr2=GrassmannExpandAndSimplify[bb⋀dd⋀aa]

coeff2=Flatten[{(Subscript[a, 0]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[d, 0]),Coefficient[expr2, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])}], Coefficient[expr2, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr2, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 4])}], Coefficient[expr2, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr2, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr2, {(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr2, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}]}]

expr3 =GrassmannExpandAndSimplify[dd⋀aa⋀(dd-aa)]

coeff3=Flatten[{-(Subscript[a, 0]^2) (Subscript[d, 0])+(Subscript[a, 0]) (Subscript[d, 0]^2),Coefficient[expr3, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])}], Coefficient[expr3, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr3, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 4])}], Coefficient[expr3, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr3, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr3, {(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr3, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}]}]

expr4=GrassmannExpandAndSimplify[(pp⋀dd⋀(dd-pp)) + cc⋀bb⋀dd]

coeff4=Flatten[{(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 0])+(Subscript[d, 0]^2) (Subscript[p, 0])-(Subscript[d, 0]) (Subscript[p, 0]^2),Coefficient[expr4, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])}], Coefficient[expr4, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr4, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 4])}], Coefficient[expr4, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr4, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr4, {(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr4, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}]}]

expr5=GrassmannExpandAndSimplify[(qq⋀dd⋀(dd-qq)) + cc⋀bb⋀dd]

coeff5=Flatten[{(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 0])+(Subscript[d, 0]^2) (Subscript[q, 0])-(Subscript[d, 0]) (Subscript[q, 0]^2),Coefficient[expr5, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])}], Coefficient[expr5, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr5, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 4])}], Coefficient[expr5, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr5, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr5, {(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr5, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}]}]

expr6=GrassmannExpandAndSimplify[(pp⋀aa⋀(aa-pp)) + cc⋀bb⋀aa]

coeff6=Flatten[{(Subscript[a, 0]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0])+(Subscript[a, 0]^2) (Subscript[p, 0])-(Subscript[a, 0]) (Subscript[p, 0]^2),Coefficient[expr6, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])}], Coefficient[expr6, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr6, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 4])}], Coefficient[expr6, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr6, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr6, {(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr6, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}]}]

expr7=GrassmannExpandAndSimplify[(qq⋀aa⋀(aa-qq)) + cc⋀bb⋀aa]

coeff7=Flatten[{(Subscript[a, 0]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0])+(Subscript[a, 0]^2) (Subscript[q, 0])-(Subscript[a, 0]) (Subscript[q, 0]^2),Coefficient[expr7, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])}], Coefficient[expr7, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr7, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 4])}], Coefficient[expr7, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])}],Coefficient[expr7, {(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr7, {(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}],Coefficient[expr7, {(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])}]}]

(* Exactly 56 equations *)
coeffSystem = DeleteDuplicates[Simplify[Join[coeff1, coeff2, coeff3,coeff4,coeff5,coeff6,coeff7]]]
Length[coeffSystem]

(* exactly 49 equations *)
caseI=DeleteCases[DeleteDuplicates[coeffSystem/.{(Subscript[c, 0])->0,(Subscript[b, 0])->0,(Subscript[d, 0])->(Subscript[a, 0]), (Subscript[q, 0])->(Subscript[a, 0]), (Subscript[p, 0])->(Subscript[a, 0])}], _Integer]
Length[caseI]

Case I: (Subscript[c, 0])->0,(Subscript[b, 0])->0,(Subscript[d, 0])->(Subscript[a, 0]), (Subscript[q, 0])->(Subscript[a, 0]), (Subscript[p, 0])->(Subscript[a, 0])

solCaseI=Solve[caseI==0, scalars]

(* (Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])->(Subscript[ζ, 1])(Subscript[ζ, 2])(Subscript[ζ, 3])(Subscript[ζ, 4]) has to be first in the list of subs *)
Column[Table[RGrassmann=R/.{a->aa, b->bb, c->cc, d->dd, p->pp, q->qq};
RGrassmannFinal=Flatten[RGrassmann/.{solCaseI[[i]]},1];
Style[RGrassmannFinal/.{(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])->(Subscript[ζ, 1])(Subscript[ζ, 2])(Subscript[ζ, 3])(Subscript[ζ, 4]),(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 2])->(Subscript[ζ, 1])(Subscript[ζ, 2]),(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 3])->(Subscript[ζ, 1])(Subscript[ζ, 3]),(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 3])->(Subscript[ζ, 2])(Subscript[ζ, 3]),(Subscript[ζ, 2])⋀(Subscript[ζ, 4])->(Subscript[ζ, 2])(Subscript[ζ, 4]),(Subscript[ζ, 1])⋀(Subscript[ζ, 4])->(Subscript[ζ, 1])(Subscript[ζ, 4]),(Subscript[ζ, 3])⋀(Subscript[ζ, 4])->(Subscript[ζ, 3])(Subscript[ζ, 4])}//MatrixForm,FontSize->6],
{i, 1, Length[solCaseI]}]]

caseII=DeleteCases[DeleteDuplicates[coeffSystem//.{(Subscript[a, 0])->0,(Subscript[d, 0])->(Subscript[a, 0]), (Subscript[q, 0])->(Subscript[a, 0]), (Subscript[p, 0])->(Subscript[a, 0])}], _Integer]
Length[caseII]

Let’s assume (Subscript[b, 0]) and (Subscript[c, 0]) are non-zero:

Factor[caseII]

caseII1 =DeleteDuplicates[ { ((Subscript[a, 34]) (Subscript[d, 12])-(Subscript[a, 24]) (Subscript[d, 13])+(Subscript[a, 23]) (Subscript[d, 14])+(Subscript[a, 14]) (Subscript[d, 23])-(Subscript[a, 13]) (Subscript[d, 24])+(Subscript[a, 12]) (Subscript[d, 34])),((Subscript[a, 34]) (Subscript[d, 12])-(Subscript[a, 24]) (Subscript[d, 13])+(Subscript[a, 23]) (Subscript[d, 14])+(Subscript[a, 14]) (Subscript[d, 23])-(Subscript[a, 13]) (Subscript[d, 24])+(Subscript[a, 12]) (Subscript[d, 34])),(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 12]),(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 13]),(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 14]),(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 23]),(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 24]),(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 34]),(Subscript[b, 34]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 12])+(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 34]) (Subscript[d, 12])-(Subscript[b, 24]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 13])-(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 24]) (Subscript[d, 13])+(Subscript[b, 23]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 14])+(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 23]) (Subscript[d, 14])+(Subscript[b, 14]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 23])+(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 14]) (Subscript[d, 23])-(Subscript[b, 13]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 24])-(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 13]) (Subscript[d, 24])+(Subscript[b, 12]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 34])+(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 12]) (Subscript[d, 34])+(Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]) (Subscript[d, 1234]),(Subscript[a, 12]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]),(Subscript[a, 13]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]),(Subscript[a, 14]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]),(Subscript[a, 23]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]),(Subscript[a, 24]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]),(Subscript[a, 34]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0]),(Subscript[a, 1234]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 0])+(Subscript[a, 34]) (Subscript[b, 12]) (Subscript[c, 0])-(Subscript[a, 24]) (Subscript[b, 13]) (Subscript[c, 0])+(Subscript[a, 23]) (Subscript[b, 14]) (Subscript[c, 0])+(Subscript[a, 14]) (Subscript[b, 23]) (Subscript[c, 0])-(Subscript[a, 13]) (Subscript[b, 24]) (Subscript[c, 0])+(Subscript[a, 12]) (Subscript[b, 34]) (Subscript[c, 0])+(Subscript[a, 34]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 12])-(Subscript[a, 24]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 13])+(Subscript[a, 23]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 14])+(Subscript[a, 14]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 23])-(Subscript[a, 13]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 24])+(Subscript[a, 12]) (Subscript[b, 0]) (Subscript[c, 34])}]

We get a simple solution where (Subscript[b, 0])->0, (Subscript[c, 0])->0 which is against our assumptions, and (Subscript[a, 1234])->0,(Subscript[d, 1234])->0 which is not a desirable solution since we need to be of 4th degree  , see following:

solCaseII1=Solve[(caseII1/.{(Subscript[d, 12])->0,(Subscript[d, 13])->0,(Subscript[d, 14])->0,(Subscript[d, 23])->0,(Subscript[d, 24])->0,(Subscript[d, 34])->0,(Subscript[a, 12])->0,(Subscript[a, 13])->0,(Subscript[a, 14])->0,(Subscript[a, 23])->0,(Subscript[a, 24])->0,(Subscript[a, 34])->0})==0, scalars]

Let’s go back and assume (Subscript[b, 0])->0 and (Subscript[c, 0]) non-zero:

caseII2=DeleteCases[DeleteDuplicates[coeffSystem//.{(Subscript[a, 0])->0,(Subscript[d, 0])->(Subscript[a, 0]), (Subscript[q, 0])->(Subscript[a, 0]), (Subscript[p, 0])->(Subscript[a, 0]),(Subscript[b, 0])->0}], _Integer]

Factor[caseII2]

Remove (Subscript[c, 0]):

caseII2=DeleteDuplicates[{ ((Subscript[a, 34]) (Subscript[d, 12])-(Subscript[a, 24]) (Subscript[d, 13])+(Subscript[a, 23]) (Subscript[d, 14])+(Subscript[a, 14]) (Subscript[d, 23])-(Subscript[a, 13]) (Subscript[d, 24])+(Subscript[a, 12]) (Subscript[d, 34])), ((Subscript[b, 34]) (Subscript[d, 12])-(Subscript[b, 24]) (Subscript[d, 13])+(Subscript[b, 23]) (Subscript[d, 14])+(Subscript[b, 14]) (Subscript[d, 23])-(Subscript[b, 13]) (Subscript[d, 24])+(Subscript[b, 12]) (Subscript[d, 34])),((Subscript[a, 34]) (Subscript[b, 12])-(Subscript[a, 24]) (Subscript[b, 13])+(Subscript[a, 23]) (Subscript[b, 14])+(Subscript[a, 14]) (Subscript[b, 23])-(Subscript[a, 13]) (Subscript[b, 24])+(Subscript[a, 12]) (Subscript[b, 34])) }]

Too few equations but we can find nice enough relationship between them for parametric solutions:

solCaseII2=Solve[caseII2==0, {(Subscript[a, 34]),(Subscript[b, 34]),(Subscript[a, 24])}]

Let’s go back and assume (Subscript[c, 0])->0 and (Subscript[b, 0]) non-zero:

caseII3=DeleteCases[DeleteDuplicates[coeffSystem//.{(Subscript[a, 0])->0,(Subscript[d, 0])->(Subscript[a, 0]), (Subscript[q, 0])->(Subscript[a, 0]), (Subscript[p, 0])->(Subscript[a, 0]),(Subscript[c, 0])->0}], _Integer]

Factor[caseII3]

Remove (Subscript[b, 0]) :

caseII3=DeleteDuplicates[{  ((Subscript[a, 34]) (Subscript[d, 12])-(Subscript[a, 24]) (Subscript[d, 13])+(Subscript[a, 23]) (Subscript[d, 14])+(Subscript[a, 14]) (Subscript[d, 23])-(Subscript[a, 13]) (Subscript[d, 24])+(Subscript[a, 12]) (Subscript[d, 34])), ((Subscript[c, 34]) (Subscript[d, 12])-(Subscript[c, 24]) (Subscript[d, 13])+(Subscript[c, 23]) (Subscript[d, 14])+(Subscript[c, 14]) (Subscript[d, 23])-(Subscript[c, 13]) (Subscript[d, 24])+(Subscript[c, 12]) (Subscript[d, 34])), ((Subscript[a, 34]) (Subscript[c, 12])-(Subscript[a, 24]) (Subscript[c, 13])+(Subscript[a, 23]) (Subscript[c, 14])+(Subscript[a, 14]) (Subscript[c, 23])-(Subscript[a, 13]) (Subscript[c, 24])+(Subscript[a, 12]) (Subscript[c, 34])) }]

Too few equations but we can find nice enough relationship between them for parametric solutions:

solCaseII3=Solve[caseII3==0, {(Subscript[a, 34]),(Subscript[c, 34]),(Subscript[a, 24])}]